求多个自变量的线性函数在一组线性不等式约束条件下的最大值最小值问题，是一类完全不同的问题，这类问题叫做线性规划问题。下面我们通过实例来说明。

例18 一份简化的食物由粮和肉两种食品做成，每份粮价值30分，其中含有4单位酶，5单位维生素和2单位蛋白质；每一份肉价值50分，其中含有1单位酶，4单位维生素和4单位蛋白质。对一份食物的最低要求是它至少要由8单位酶，20单位维生素和10单位蛋白质组成，问应当选择什么样的食物，才能使价钱最便宜？

解  设食物由份粮和份肉组成，其价钱为

.

由食物的最低要求得到三个不等式约束条件，即：

为了有足够的醣，应有；

为了有足够的维生素，应有；

为了有足够的蛋白质，应有；

并且还有.

上述五个不等式把问题的解限制在平面上如图的阴影区域中，现在考虑直线族

.

当逐渐增加时，与阴影区域相交的第一条直线是通过顶点的直线，是两条直线

 和

的交点. 所以点对应于的最小值的坐标是，即这种食物是由份粮和份肉组成. 代入即得所要求的食物的最低价格

分

一般线性规划问题的提法：求，使得

在个不等式

和

的约束条件下取得最大值和最小值. 在社会科学中，大到，大到的问题是很普遍的，这类问题一般用一些特殊的方法(如单纯形法等)通过计算机来解决.

特别地对于两个或三个自变量的情形，也可用图形法(几何方法)来求解(见例19).

例19  一个糖果制造商有500巧克力，100核桃和50果料。他用这些原料生产三种类型的糖果。A类每盒用3巧克力，1核桃和1活力，售价10元。B类每盒用4巧克力和1核桃，售价6元。C类是每盒5巧克力，售价4元。问每类糖果各应做多少盒，才能使总收入最大？

解  设制造商出售三类糖果各为盒，总收入是

(元).

不等式约束条件由巧克力、核桃和果料的存货限额给出，依次为

，  ，  .

当然，由问题的性质知，和也是非负的，所以

，  ，  .

于是，问题化为：求的满足这些不等式的最大值.

    上述不等式把允许的解限制在空间中的一个多面体区域之内(如图).

在平行平面族

中只有一部分平面和这个区域相交，随着增大，平面离原点越来越远. 显然，的最大值一定出现在这样的平面上，这种平面正好经过允许值所在多面体区域的一个顶点，所求的解对应于取最大值的那个顶点，计算结果列在下表中.

由图可见，的最大值是920元，相应的点是(50,50,30), 所以类50盒，类50盒，类30盒时收入最多.