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微积分(经管类)

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大学普通本科 -> 经管类 -> 微积分 -> 第六章多元函数微积分 -> 6.4 全微分 -> 内容要点 -> 可微的充分条件

可微的充分条件

虽然函数的偏导数存在不能保证函数的可微性，但若对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性一般地，我们有：
定理2（充分条件） 如果函数的偏导数，在点处连续，则函数在该点处可微分.

证明函数的全增量

对两个中括号内的表达式，分别应用拉格朗日中值定理，有

，

其中. 由题设条件，在点处连续，故

从而有

，

其中为，的函数，且当，时，.

同理有

其中为的函数，且当时，. 于是

而

其中. 所以，由可微的定义知，函数在点处可微分.

习惯上，常将自变量的增量、分别记为、，并分别称为自变量的微分. 这样，函数的全微分就表为

上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去. 例如，三元函数的全微分可表示为

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