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微积分(经管类)

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衰变问题2

碳是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质. 活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数. 通过测量，已知一古墓中(见图)遗体所含碳14的数量为原有碳14数量的80%，试确定遗体的死亡年代.

解放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符合指数函数的变化规律. 设遗体当初死亡时的含量为，时的含量为，于是，含量的函数模型为
                              ，
其中，是一常数.
常数可以这样确定：由化学知识可知，的半衰期为5730年，即经过5730年后其含量衰减一半，故有
                          ，即.
两边取自然对数，得
                ，即.
于是，含量的函数模型为
                           .
由题设条件可知，遗体中的含量为原含量的80% ，故有
                   ，即.
两边取自然对数，得
                              ，
于是
                  .
由此可知，遗体的活性人体大约死亡于1845年前.

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