大学普通本科 -> 经管类 -> 微积分 -> 第八章 微分方程与差分方程 -> 8.5 二阶线性微分方程解的结构 -> 内容要点 -> 二阶线性微分方程解的定理3
二阶线性微分方程解的定理3
与本章第三节讨论的一阶线性微分方程的解的结构类似，二阶甚至更高阶的非齐次线性微分方程的通解也有同样的结构.
(1)
(2)
定理3 设是方程(1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(2)的通解，则
(3)
就是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.
证 把式(3)代入方程(1)的左端，得
，
即是方程(1)的解. 由于对应齐次方程的通解
，
含有两个相互独立任意常数，，故为(1)的通解.
例如，方程是二阶非齐次线性微分方程，已知其对应的齐次方程的通解为. 又容易验证是该方程的一个特解，所以
是所给方程的通解.
(1)
(2)
定理3 设是方程(1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(2)的通解，则
(3)
就是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.
证 把式(3)代入方程(1)的左端，得
，
即是方程(1)的解. 由于对应齐次方程的通解
，
含有两个相互独立任意常数，，故为(1)的通解.
例如，方程是二阶非齐次线性微分方程，已知其对应的齐次方程的通解为. 又容易验证是该方程的一个特解，所以
是所给方程的通解.
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