1.平均成本最小化问题

    设成本函数 （ 是产量），一个典型的成本函数的图像如图1所示，注意到在前一段区间上曲线呈上凸型，因而切线的斜率，也即边际成本函数在此区间上单调下降. 这反映了生产规模的效益. 接着曲线上有一拐点，曲线随之变成下凸型，边际成本函数呈递增态势. 引起这种变化的原因可能是由于超时工作带来的高成本，或者是生产规模过大带来的低效性.

图1                              图2

    定义每单位产品所承担的成本费用为 平均成本函数 ，即

 ( 是产量).

注意到 正是图2曲线上纵坐标与横坐标之比，也正是曲线上一点与原点连线的斜率，据此可作出 的图像（见图2）. 易见 在 处无定义. 说明生产数量为零时，不能讨论平均成本. 图2中的整个曲线呈下凸型，故有唯一的极小值. 又由

 得 ，

即 当边际成本等于平均成本时，平均成本达到最小 .

2.存货成本最小化问题

    商业的零售商店关心存货成本. 假定一个商店每年销售360台计算器，商店可能通过一次整批订购所有计算器来保证营业. 但是另一方面，店主将面临储存所有计算器所承担的持产成本（例如，保险，房屋面积等）. 于是他可能分成几批较小的订货单，例如6批，因而必须储存的最大数是60. 但是每次再订货，却要为文书工作、送货费用、劳动力等支付成本. 因此，似乎在持产成本和再订购成本之间存在一个平衡点. 下面将展示微分学是怎样帮我们确定平衡点的. 我们最小化下述函数：

总存货成本=（年度持产成本）+（年度再订购成本）

  所谓批量是指每个再订购期所订货物的最大量. 如果是每期的订货量，则在那一时段，现有存货量是在0到台之间的某个整数. 为了得到一个关于在该期间的每个时刻的现有存货量的表示式，可以采用平均量来表示该年度的相应时段的平均存货量.

    参看图3的图形. 如果该批量是360，则在前后两次订货之间的时段中，现有存货处在0到360台的某个位置. 现存货物取平均存量为360/2即180台. 如果批量是180，则在前后两次订货之间的时段中，现有存货处在0到180台的某个位置. 现存货物取平均存量为180/2即90台.

图3

3.利润最大化问题

    销售某商品的收入，等于产品的单位价格乘以销售量，即，而销售利润等于收入减去成本，即

    现在一般地考察总利润函数以及与它有关的函数. 图4展示了一个关于总成本函数与总收入函数的例子. 根据观察，可以估计到最大利润可能是与之间的最宽差距，即

图4

    点和是盈亏平衡点.

    图5展示了一个关于总利润函数的例子. 注意到当产量太低（）时会出现亏损，这是因为高固定成本后高初始成本以及低收入所致. 当产量太高（）时也会出现亏损，这是由于高边际成本和低边际利润所致（如图6所示）.

图5                                 图6

    商业在和之间的每一个赢利之处运转. 注意最大利润出现在的驻点处. 如果假定对某个区间（通常取）的所有，都存在，则这个驻点出现在使得

和

的某个数处. 因为，由此可得

和.

    因此，最大利润出现在使得

和，

或

和

的某个数处.

    综上所述，有下面的定理.

    定理1  当边际利润等于边际成本且边际利润的变化率小于边际成本的变化率时，即

和

时，可以实现最大利润.

4.用需求弹性分析总收益的变化

    总收益是商品价格与销售量的乘积，即

，

    由，知：

    (1)若，需求变动的幅度小于价格变动的幅度. ，递增. 即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少.

    (2)若，需求变动的幅度大于价格变动的幅度. ，递减. 即价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加.

    (3)若，需求变动的幅度等于价格变动的幅度. ，取得最大值.

    综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求的变化而变化，其关系如下图7所示.

图7