一、自变量趋向无穷大时函数的极限定义
设函数当大于某一正数时有定义. 如果对任意给定的正数(不论它多么小)，总存在着正数，使得对于满足不等式的一切，恒有
，
那么常数就叫函数当时的极限，记作
或(当).
二、自变量趋向有限值时函数的极限定义
设函数在点的某一去心邻域内有定义. 若对任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数，使当时，函数都满足不等式
，
则常数就称为函数当时的极限. 记作
或(当).
三、左、右极限的定义
⑴ 左极限的定义：，，使当时，恒有. 记作
或.
⑵右极限的定义： ，，使当时，恒有. 记作
或.
四、极限与左右极限的关系
；
.
五、函数极限的性质
⑴唯一性： 若存在，则极限唯一.
⑵有界性： 若，则存在常数和，使得当时，有
.
⑶保号性： 若，且()，则，使得当时，有
(或).
⑷保号性推论： 若，且在的某去心邻域内(或)，则(或).
六、子序列收敛性
⑴子序列的定义
设在过程(可以是，或)中有数列，使得时，则称数列为函数当时的子序列.
⑵子序列收敛性
若，数列是当时的一个子序列，则有
.
⑶函数极限存在的充要条件
函数极限存在的充要条件是它的任何子序列的极限都存在且相等.
七、函数极限与数列极限的关系
如，则对任何趋向于的数列，且都有，当时，命题也成立.
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