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线性代数(经管类)

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矩阵的特征值与特征向量

一、特征值与特征向量的概念

    定义设为阶方阵，如果数和维非零向量使

成立，则称数为的一个特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量.
    注：1.阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组

有非零解的值，即满足方程的都是矩阵的特征值；
       2.称关于的一元次方程为的特征方程，称的一元次多项式为的特征多项式.

二、特征值与特征向量的基本性质

性质1 阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值.

性质2 设是阶矩阵的个特征值，则
.

    性质3 设是阶矩阵，如果
                 (1)或(2)
有一个成立，则矩阵的所有特征值的模小于，即
                                .

性质4 设是的特征值，则是的特征值，是的特征值，其中

，

特别地，设特征多项式，则是的特征值

定理阶矩阵互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.

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