n阶行列式的定义的其它形式
定理 阶行列式也可定义为
，
其中为行标与列标的逆序数之和.
证明 按定义有
， (1)
令 ， (2)
注意到交换(2)的一般项中两元素的位置，相当于同时进行一个行标的对换和一个列标的对换. 故交换位置后一般项的两下标排列逆序数之和的奇偶性保持不变，即交换(2)的一般项中两元素的位置，其符号保持不变. 这样我们总可以经过有限次的位置交换，使其行标换为自然数顺序排列，即变为(1)中的一般项，因此的一般项也可以记为(2)式中的形式. 证毕.
推论 阶行列式也可以定义为
.
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