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高等数学(理工类)

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单调有界准则

如果数列满足条件

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 我们不证明准则Ⅱ，但下图可以帮助我们理解为什么一个单调增加且有界的数列必有极限，因为数列单调增加又不能大于，故某个时刻以后，数列的项必然集中在某数的附近，即对任意给定的，必然存在与数，使当时，恒有，从而数列的极限存在.

根据§1.3中的定理1，收敛的数列必定有界. 但有界的数列不一定收敛. 准则Ⅱ表明，如果一数列不仅有界，而且单调，则该数列一定收敛.
例如，单调增加数列：.
单调减少数列：.

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